均值不等式的证明

均值不等式（算术-几何均值不等式）是关于非负实数 \\(a\\) 和 \\(b\\) 的重要不等式，其表述为 \\(\\frac{a + b}{2} \\geq \\sqrt{ab}\\)，并在 \\(a = b\\) 时等号成立。让我们深入其证明过程：

代数变形法

我们考虑算术平均数与几何平均数的差值：

\\frac{a + b}{2} - \\sqrt{ab} = \\frac{(a + b - 2\\sqrt{ab})}{2} = \\frac{(\sqrt{a} - \\sqrt{b})^2}{2}。由于平方的非负性，我们知道 \\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0。原不等式成立，并且在 \\(\sqrt{a} = \sqrt{b}\\)，即 \(a = b\) 时等号成立。

平方展开法

另一种证明方法是对不等式两边进行平方。展开并整理后，我们得到：

\\left(\\frac{a + b}{2}\\right)^2 \geq ab。进一步展开，我们得到 (a - b)^2 \geq 0，这是一个显然成立的不等式。同样，当且仅当 \(a = b\) 时等号成立。

导数法

我们还可以固定 \(a > 0\)，并定义函数 \(f(b) = \\frac{a + b}{2} - \\sqrt{ab}\)。对 \(b\) 求导后，我们发现当 \(b = a\) 时，\(f(b)\) 取得极小值。对于所有 \(b > 0\)，我们有 \(f(b) \geq 0\)，即原不等式成立。

无论通过代数变形、平方展开还是导数法，我们都可以证明均值不等式成立。其中，代数变形法因其简洁直观的特点而备受青睐。

这一不等式在数学、物理、经济等领域有着广泛的应用。例如，在经济学中，它可以帮助我们理解在某些情况下，平均成本会高于或等于其几何平均成本。无论在哪个领域，这一不等式都发挥着重要的作用。