关于x的一元二次方程

解法概述

1. 因式分解法

对于形如 \\( (px + q)(rx + s) = 0 \\) 的方程，其解为 \\( x = -\frac{q}{p} \\) 或 \\( x = -\frac{s}{r} \\)。例如，方程 \\( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \\) 可以因式分解为 \\( (3x + 1)(x + 2) = 0 \\)，解得 \\( x = -\frac{1}{3} \\) 或 \\( x = -2 \\)。

2. 配方法

通过配方将方程转化为完全平方形式，如：\\( x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \\)。以方程 \\( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \\) 为例，配方后得 \\( \\left(x + \\frac{7}{6}\\right)^2 = \\frac{25}{36} \\)，解得方程的根。

3. 求根公式

对于一元二次方程 \\( ax^2 + bx + c = 0 \\)，其解为 \\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\)。同样以方程 \\( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \\) 为例，代入公式求解。

判别式的意义

判别式 \\( D = b^2 - 4ac \\) 决定根的性质。当 \\( D > 0 \\) 时，方程有两个不同的实根；当 \\( D = 0 \\) 时，有一个实重根；当 \\( D < 0 \\) 时，有两个共轭虚根。例如，方程 \\( x^2 + 4x + 5 = 0 \\) 的判别式是 -4，因此解为复数根。

韦达定理（根与系数关系）

若一元二次方程的两个根为 \\( x_1 \\) 和 \\( x_2 \\)，则它们满足韦达定理：\\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\) 和 \\( x_1x_2 = \frac{c}{a} \\)。例如，已知根为 2 和 3 的方程为 \\( x^2 - 5x + 6 = 0 \\)。

参数讨论与实际应用

对于方程何时有实根的问题，例如方程 \\( x^2 + kx + 9 = 0 \\)，当判别式大于等于零时即有实根，即当 \\( |k| \geq 6 \\)。应用题如求解矩形的长和宽时，可以通过设立方程并求解来得到答案。在此例中，设宽为 \\( x \\)，方程为 \\( x(x + 2) = 24 \\)，解得宽为4米，长为6米。如果您有更具体的方程或问题，请告知以便进一步解答。